杨辉三角

杨辉三角是一个非常有趣的数学概念，它是一个由数字排列成的三角形，数字排列的规律是每一行的数字是上一行相邻两个数字之和。

杨辉三角有哪些应用场景？

1. 组合数学：杨辉三角在组合数学中有着广泛的应用，它用于计算组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。例如，第n行的第k个数字即为C(n-1,k-1)，表示从n-1个元素中取出k-1个元素的组合数。
2. 代数学：杨辉三角可以用于展示二项式定理，即(a+b)^n的展开式中各项系数的求法。例如,(a+b)^3的展开式为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,其中的系数可以通过第四行的数字1 3 3 1来计算得到。
3. 数论：杨辉三角中的数字可以用于计算二项式系数的奇偶性。例如，第n行的数字如果都是偶数，则n是2的幂次方。

此外，杨辉三角还可以用于解决一些经典问题，如小时候玩的弹球游戏。在弹球游戏中，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据小球最终落入的底层对应的奖品区域（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D区奖品差），可以用杨辉三角进行计算。

以下是用多种计算机语言实现杨辉三角的代码：

1. Python

def generate_pascal_triangle(num_rows):  
    triangle = []  
    for i in range(num_rows):  
        row = [1] * (i + 1)  
        for j in range(1, i):  
            row[j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j]  
        triangle.append(row)  
    return triangle

2. Java

public class PascalTriangle {  
    public static void generatePascalTriangle(int numRows) {  
        int[][] triangle = new int[numRows][numRows];  
        for (int i = 0; i < numRows; i++) {  
            for (int j = 0; j <= i; j++) {  
                if (j == 0 || j == i) {  
                    triangle[i][j] = 1;  
                } else {  
                    triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];  
                }  
                System.out.print(triangle[i][j] + " ");  
            }  
            System.out.println();  
        }  
    }  
}

3. C++

   #include <iostream>  
   #include <vector>  
   using namespace std;  
   
   void generatePascalTriangle(int numRows) {  
       vector<vector<int>> triangle(numRows, vector<int>(numRows));  
       for (int i = 0; i < numRows; i++) {  
           for (int j = 0; j <= i; j++) {  
               if (j == 0 || j == i) {  
                   triangle[i][j] = 1;  
               } else {  
                   triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];  
               }  
               cout << triangle[i][j] << " ";  
           }  
           cout << endl;  
       }  
   }